Quadratwurzel-Rechner

Ein einfacher Rechner, um die Quadratwurzel jeder positiven Zahl zu finden.

Geben Sie eine positive Zahl ein:

About Square Roots

The square root of a number is a value that, when multiplied by itself, gives the original number.

For example, the square root of 25 is 5 because 5 × 5 = 25.

Key points:

• Square roots of negative numbers are not real numbers

• The square root of 0 is 0

• For most numbers, square roots are irrational numbers with infinite decimal places

• This calculator provides results to 8 decimal places for precision

So verwenden Sie Quadratwurzel-Rechner

1
Zahl eingeben
Geben Sie eine positive Zahl wie 25 oder 144,5 in das Eingabefeld ein.
2
Dezimalstellen festlegen
Wählen Sie, wie viele Dezimalstellen Sie möchten, bis zu 8, um die Genauigkeit des Ergebnisses zu steuern.
3
Wurzel berechnen
Klicken Sie auf „Quadratwurzel berechnen“, um den Wert sofort in Ihrem Browser zu berechnen.

4
Ergebnis kopieren
Verwenden Sie die Schaltfläche „Ergebnis kopieren“, um die Quadratwurzel zur Weiterverwendung in die Zwischenablage zu übernehmen.

Quadratwurzeln genauer betrachtet

Was eine Quadratwurzel ist

Die Quadratwurzel einer Zahl ist der Wert, der mit sich selbst multipliziert diese Zahl ergibt. Da 5 mal 5 gleich 25 ist, ist die Quadratwurzel von 25 gleich 5. Diese Rechenoperation macht das Quadrieren rückgängig und ist damit die natürliche Umkehrung dazu, eine Zahl in die zweite Potenz zu erheben. Gekennzeichnet wird sie durch das Wurzelzeichen, sodass die Quadratwurzel von 25 als die Wurzel aus 25 geschrieben wird.

Genau genommen hat 25 zwei Quadratwurzeln, nämlich positiv 5 und negativ 5, denn minus mal minus ergibt ebenfalls plus. Per Konvention liefert das Wurzelzeichen jedoch nur das nicht-negative Ergebnis, die sogenannte Hauptwurzel. Diesen Wert gibt dieser Rechner aus, was dem Standard entspricht, den Sie aus der Schule und aus den meisten Programmen kennen.

Quadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl, deren Quadratwurzel eine ganze Zahl ist. Die ersten lauten 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 und 100, mit den Wurzeln 1 bis 10. Es lohnt sich, diese auf den ersten Blick zu erkennen, denn sie bilden den Bezugspunkt für jede Schätzung, die Sie für die dazwischenliegenden Zahlen vornehmen.

Quadratzahlen tauchen in der Geometrie und beim Rechnen mit Zahlen ständig auf. Ein quadratischer Fliesenboden mit 144 Fliesen misst 12 mal 12, denn die Wurzel aus 144 ist 12. Wenn eine Berechnung auf eine glatte, ganzzahlige Wurzel führt, ist das meist ein Zeichen dafür, dass Sie es mit einer Quadratzahl zu tun haben, und das Ergebnis muss überhaupt nicht gerundet werden.

Schätzen zwischen Quadratzahlen

Die meisten Zahlen sind keine Quadratzahlen, doch Sie können ihre Wurzeln zwischen zwei Quadratzahlen einklammern. Nehmen Sie 50. Sie liegt zwischen 49 und 64, also liegt ihre Wurzel zwischen 7 und 8. Da 50 sehr viel näher an 49 als an 64 liegt, liegt die Wurzel knapp über 7, und tatsächlich beträgt die Wurzel aus 50 etwa 7,07.

Diese Methode des Einklammerns liefert eine schnelle Plausibilitätsprüfung, bevor Sie irgendeinem Tool vertrauen. Wenn Sie die Wurzel aus 90 abfragen und ein Ergebnis nahe 9,5 sehen, ist das plausibel, denn 90 liegt zwischen 81 und 100, also liegt ihre Wurzel zwischen 9 und 10. Ein Ergebnis weit außerhalb dieses Bereichs wäre ein Hinweis auf einen Tippfehler in Ihrer Eingabe.

Irrationale Ergebnisse und Rundung

Wenn eine ganze Zahl keine Quadratzahl ist, ist ihre Quadratwurzel irrational: Ihre Dezimaldarstellung läuft endlos weiter, ohne sich zu wiederholen. Die Wurzel aus 2 beginnt mit 1,41421356 und fügt sich nie zu einem Muster, sodass sie sich nur mit dem Wurzelzeichen exakt schreiben lässt. Jede Darstellung als Dezimalzahl ist zwangsläufig eine Näherung.

Deshalb zeigt dieser Rechner das Ergebnis auf acht Dezimalstellen gerundet an. Mehr Stellen würden eine genauere Näherung bedeuten, nicht einen anderen wahren Wert, doch acht sind für Hausaufgaben bereits mehr als genug, und für eine grobe Schätzung können Sie einfach die ersten zwei oder drei Ziffern ablesen. Das Tool rundet die nie endende Dezimalzahl auf feste acht Stellen, damit das Ergebnis präzise bleibt, ohne endlos weiterzulaufen.

Wie Quadratwurzeln berechnet werden

Eine klassische Methode für die Berechnung von Hand ist die Primfaktorzerlegung. Zerlegen Sie die Zahl in Primfaktorpaare und ziehen Sie aus jedem Paar einen Faktor heraus. Für 144 lautet die Zerlegung 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 3 mal 3; das Bilden der Paare ergibt 2 mal 2 mal 3, also 12. Sauber funktioniert das nur bei Quadratzahlen, doch zum Überprüfen ist es hervorragend geeignet.

Für alles Übrige verwenden Computer ein iteratives Verfahren wie das babylonische Verfahren, auch Newton-Verfahren genannt. Um die Wurzel aus 10 anzunähern, beginnen Sie mit einer Schätzung wie 3 und bilden dann den Mittelwert aus dieser Schätzung und 10 geteilt durch die Schätzung: 3 plus 3,333 ergibt 6,333, halbiert etwa 3,167. Wiederholen Sie das noch einmal, und Sie sind bereits nahe am wahren Wert 3,16228. Jeder Durchgang verdoppelt die Genauigkeit ungefähr.

Negative Zahlen und imaginäre Wurzeln

Keine reelle Zahl ergibt im Quadrat ein negatives Ergebnis, daher hat eine negative Zahl keine reelle Quadratwurzel. Aus diesem Grund akzeptiert dieser Rechner nur die Null und positive Werte und gibt bei einer negativen Eingabe eine Fehlermeldung aus. Die Frage nach der Wurzel aus -9 hat innerhalb der reellen Zahlen, mit denen Sie täglich umgehen, keine Antwort.

Die Mathematik erweitert diese Idee mit imaginären Zahlen und definiert die Wurzel aus -1 als die Einheit i. Dann ist die Wurzel aus -9 gleich 3i. Das ist in fortgeschrittenen Bereichen wie der Elektrotechnik und der Signalverarbeitung unverzichtbar, liegt aber außerhalb des auf reelle Zahlen beschränkten Rahmens dieses Tools, das für den alltäglichen Fall positiver Zahlen gemacht ist.

Wo Quadratwurzeln zum Einsatz kommen

Die Geometrie stützt sich über den Satz des Pythagoras auf Quadratwurzeln. Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten 3 und 4 ist die Hypotenuse die Wurzel aus 3 zum Quadrat plus 4 zum Quadrat, also die Wurzel aus 25 oder genau 5. Immer wenn Sie eine geradlinige Distanz aus einer waagerechten und einer senkrechten Komponente berechnen, ist eine Quadratwurzel im Spiel.

Auch die Statistik ist auf sie angewiesen. Die Standardabweichung, das gebräuchlichste Maß für die Streuung von Daten, ist die Quadratwurzel der Varianz. Die Finanzwelt nutzt Wurzeln, um die Volatilität auf das Jahr hochzurechnen, und die Physik verwendet sie in Formeln von der Falldauer beim freien Fall bis zur Wellengeschwindigkeit. Weit davon entfernt, abstrakt zu sein, ist die Quadratwurzel eine der unauffälligsten und zugleich nützlichsten Rechenoperationen der angewandten Mathematik.

Häufig gestellte Fragen

Wie genau sind die Ergebnisse der Quadratwurzel?

Sie können die Ausgabe auf bis zu 8 Dezimalstellen festlegen. Der Rechner rundet das Ergebnis auf Ihre gewählte Genauigkeit, was für Mathe-Hausaufgaben, technische Schätzungen und die meisten alltäglichen Berechnungen genau genug ist.

Kann er die Quadratwurzel einer negativen Zahl finden?

Nein. Negative Zahlen haben keine reelle Quadratwurzel, daher akzeptiert das Tool nur positive Werte und null und zeigt eine Fehlermeldung an, wenn Sie eine negative Zahl eingeben.

Funktioniert er für Dezimalzahlen und sehr große Zahlen?

Ja. Sie können Dezimalwerte wie 2,5 oder große Zahlen eingeben, und der Rechner gibt die Quadratwurzel mit der nativen mathematischen Genauigkeit Ihres Browsers zurück.

Warum ist die Quadratwurzel einer Zahl wie 2 nicht exakt?

Viele Quadratwurzeln sind irrationale Zahlen mit unendlich vielen, nicht periodischen Dezimalstellen, daher zeigt das Tool eine gerundete Näherung an, die auf Ihre gewählte Anzahl von Dezimalstellen begrenzt ist, statt eines nie endenden Werts.

Ist der Rechner kostenlos und privat?

Ja. Er ist völlig kostenlos und ohne Anmeldung nutzbar, und jede Berechnung läuft lokal in Ihrem Browser, sodass die von Ihnen eingegebenen Zahlen nie an einen Server hochgeladen werden.