वर्गमूल कैलकुलेटर
किसी भी धनात्मक संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए एक सरल कैलकुलेटर।
The square root of a number is a value that, when multiplied by itself, gives the original number.
For example, the square root of 25 is 5 because 5 × 5 = 25.
Key points:
• Square roots of negative numbers are not real numbers
• The square root of 0 is 0
• For most numbers, square roots are irrational numbers with infinite decimal places
• This calculator provides results to 8 decimal places for precision
वर्गमूल कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1
एक संख्या दर्ज करें
इनपुट फ़ील्ड में एक धनात्मक संख्या, जैसे 25 या 144.5, टाइप करें।
- 2
दशमलव स्थान सेट करें
नतीजे की परिशुद्धता नियंत्रित करने के लिए चुनें कि आपको कितने दशमलव स्थान चाहिए, 8 तक।
- 3
वर्गमूल निकालें
मान को तुरंत अपने ब्राउज़र में निकालने के लिए Calculate Square Root पर क्लिक करें।
- 4
जवाब कॉपी करें
वर्गमूल को कहीं और इस्तेमाल के लिए अपने क्लिपबोर्ड पर सहेजने हेतु Copy Result बटन का इस्तेमाल करें।
वर्गमूल पर एक करीबी नज़र
वर्गमूल क्या होता है
किसी संख्या का वर्गमूल वह मान है जिसे खुद से गुणा करने पर वही संख्या मिलती है। चूँकि 5 गुणा 5, 25 होता है, इसलिए 25 का वर्गमूल 5 है। यह संक्रिया वर्ग करने को उलट देती है, इसीलिए यह किसी संख्या को दो की घात तक उठाने का स्वाभाविक विलोम है। इसे मूल चिह्न (radical) से दर्शाया जाता है, इसलिए 25 का वर्गमूल, 25 के मूल के रूप में लिखा जाता है।
सख़्ती से कहें तो, 25 के दो वर्गमूल होते हैं, धनात्मक 5 और ऋणात्मक 5, क्योंकि एक ऋणात्मक गुणा एक ऋणात्मक भी धनात्मक ही होता है। परंपरा के अनुसार मूल चिह्न केवल गैर-ऋणात्मक उत्तर लौटाता है, जिसे मुख्य वर्गमूल (principal square root) कहते हैं। यही वह मान है जो यह कैलकुलेटर बताता है, और यह उसी मानक से मेल खाता है जो आपको स्कूल में और ज़्यादातर सॉफ़्टवेयर में दिखेगा।
पूर्ण वर्ग
पूर्ण वर्ग ऐसी संख्या है जिसका वर्गमूल एक पूर्ण संख्या होता है। पहले कुछ हैं 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, और 100, जिनके मूल 1 से 10 तक हैं। इन्हें देखते ही पहचान लेना सीखना सार्थक है, क्योंकि बीच की संख्याओं के लिए आप जो भी अनुमान लगाते हैं वे इन्हीं पर टिके होते हैं।
पूर्ण वर्ग ज्यामिति और संख्याओं के काम में बार-बार आते हैं। 144 टाइलों वाला कोई वर्गाकार टाइल फ़र्श 12 गुणा 12 का होता है, क्योंकि 144 का मूल 12 है। जब कोई गणना किसी साफ़ पूर्ण-संख्या वाले मूल पर आकर रुकती है, तो यह आम तौर पर इस बात का संकेत होता है कि आप किसी पूर्ण वर्ग से निपट रहे हैं, और नतीजे को बिलकुल भी पूर्णांकित करने की ज़रूरत नहीं पड़ती।
पूर्ण वर्गों के बीच अनुमान लगाना
ज़्यादातर संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं होतीं, लेकिन आप उनके मूल को ऐसे दो पूर्ण वर्गों के बीच बाँध सकते हैं। 50 को लीजिए। यह 49 और 64 के बीच आता है, इसलिए इसका मूल 7 और 8 के बीच आता है। चूँकि 50, 64 के मुक़ाबले 49 के कहीं ज़्यादा करीब है, इसलिए मूल 7 से थोड़ा ही ऊपर है, और सचमुच 50 का मूल लगभग 7.07 है।
किसी भी टूल पर भरोसा करने से पहले यह कोष्ठक-बंदी (bracketing) वाला तरीका एक झटपट जाँच दे देता है। अगर आप 90 का मूल माँगते हैं और नतीजा 9.5 के आस-पास देखते हैं, तो यह वाजिब है, क्योंकि 90, 81 और 100 के बीच पड़ता है, इसलिए इसका मूल 9 और 10 के बीच होता है। उस दायरे से बहुत बाहर का कोई उत्तर आपके इनपुट में किसी टाइपिंग गलती का संकेत देगा।
अपरिमेय नतीजे और पूर्णांकन
जब कोई पूर्ण संख्या पूर्ण वर्ग नहीं होती, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है: उसका दशमलव विस्तार बिना दोहराए हमेशा चलता रहता है। 2 का मूल 1.41421356 से शुरू होता है और कभी किसी पैटर्न में नहीं बैठता, इसलिए इसे ठीक-ठीक केवल मूल चिह्न से ही लिखा जा सकता है। कोई भी दशमलव रूप अनिवार्य रूप से एक सन्निकटन ही होता है।
इसीलिए यह कैलकुलेटर नतीजे को आठ दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करके दिखाता है। ज़्यादा स्थानों का मतलब होगा एक और करीबी सन्निकटन, कोई अलग असली मान नहीं, लेकिन होमवर्क के लिए तो आठ ही कहीं ज़्यादा से ज़्यादा हैं, और मोटे अनुमान के लिए आप बस पहले दो या तीन अंक पढ़ सकते हैं। टूल इस न खत्म होने वाले दशमलव को एक तय आठ स्थानों तक पूर्णांकित कर देता है ताकि उत्तर हमेशा चलते रहे बिना भी सटीक बना रहे।
वर्गमूल कैसे निकाले जाते हैं
हाथ से करने का एक चिरपरिचित तरीका अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) है। संख्या को अभाज्य जोड़ों में तोड़ें और हर जोड़े से एक निकाल लें। 144 के लिए, गुणनखंडन है 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3; जोड़े बनाने पर मिलता है 2 गुणा 2 गुणा 3, यानी 12। यह तरीका साफ़-साफ़ केवल पूर्ण वर्गों के लिए ही काम करता है पर उन्हें सत्यापित करने के लिए बेहतरीन है।
बाकी सब के लिए, कंप्यूटर कोई पुनरावृत्त (iterative) तरीका इस्तेमाल करते हैं, जैसे बेबीलोनियन, या न्यूटन का, तरीका। 10 का मूल लगभग निकालने के लिए, 3 जैसे किसी अनुमान से शुरू करें, फिर इसका औसत 10 को उसी अनुमान से भाग देने पर मिले मान के साथ लें: 3 जोड़ 3.333 बराबर 6.333, जिसका आधा लगभग 3.167 है। एक बार और दोहराएँ और आप पहले ही असली 3.16228 के पास पहुँच जाते हैं। हर चरण लगभग सटीकता को दोगुना कर देता है।
ऋणात्मक संख्याएँ और काल्पनिक मूल
किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नतीजा नहीं देता, इसलिए किसी ऋणात्मक संख्या का कोई वास्तविक वर्गमूल नहीं होता। यही वजह है कि यह कैलकुलेटर केवल शून्य और धनात्मक मान स्वीकार करता है और ऋणात्मक इनपुट के लिए एक एरर लौटाता है। -9 का मूल माँगने का उन वास्तविक संख्याओं के भीतर कोई उत्तर नहीं है जिन्हें आप रोज़ाना इस्तेमाल करते हैं।
गणित इस विचार को काल्पनिक संख्याओं के ज़रिए आगे बढ़ाता है, और -1 के मूल को इकाई i के रूप में परिभाषित करता है। तब -9 का मूल 3i होता है। यह विद्युत इंजीनियरिंग और सिग्नल प्रोसेसिंग जैसे उन्नत क्षेत्रों में ज़रूरी है, लेकिन यह इस टूल के वास्तविक-संख्या दायरे से बाहर रहता है, जो रोज़मर्रा के धनात्मक मामले के लिए बना है।
वर्गमूल कहाँ इस्तेमाल होते हैं
ज्यामिति पाइथागोरस प्रमेय के ज़रिए वर्गमूल पर टिकी होती है। भुजाओं 3 और 4 वाले किसी समकोण त्रिभुज के लिए, कर्ण 3 के वर्ग जोड़ 4 के वर्ग का मूल होता है, यानी 25 का मूल, या ठीक-ठीक 5। जब भी आप क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों से कोई सीधी-रेखा दूरी निकालते हैं, तो उसमें एक वर्गमूल शामिल होता है।
सांख्यिकी भी इन पर निर्भर करती है। मानक विचलन (standard deviation), जो डेटा के फैलाव का सबसे आम माप है, प्रसरण (variance) का वर्गमूल होता है। वित्त (finance) में उतार-चढ़ाव को वार्षिक रूप देने के लिए मूल इस्तेमाल होते हैं, और भौतिकी इन्हें मुक्त-पतन के समय से लेकर तरंग की गति तक के सूत्रों में इस्तेमाल करती है। अमूर्त होने से कोसों दूर, वर्गमूल व्यावहारिक गणित की सबसे चुपचाप उपयोगी संक्रियाओं में से एक है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
वर्गमूल नतीजे कितने सटीक हैं?
क्या यह किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकाल सकता है?
क्या यह दशमलव और बहुत बड़ी संख्याओं के लिए काम करता है?
2 जैसी संख्या का वर्गमूल सटीक क्यों नहीं होता?
क्या यह कैलकुलेटर मुफ़्त और निजी है?
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