平方根計算機
任意の正の数の平方根を計算します。数値を入力すると即座に平方根が表示されます。
The square root of a number is a value that, when multiplied by itself, gives the original number.
For example, the square root of 25 is 5 because 5 × 5 = 25.
Key points:
• Square roots of negative numbers are not real numbers
• The square root of 0 is 0
• For most numbers, square roots are irrational numbers with infinite decimal places
• This calculator provides results to 8 decimal places for precision
平方根計算機 の使い方
- 1
数値を入力する
25 や 144.5 のような正の数を入力フィールドに入力します。
- 2
小数点以下の桁数を設定する
結果の精度を制御するため、小数点以下の桁数を最大8桁まで選びます。
- 3
平方根を計算する
「Calculate Square Root」をクリックすると、値がブラウザ内で即座に計算されます。
- 4
答えをコピーする
「Copy Result」ボタンを使って、平方根をクリップボードに保存し、他の場所で利用します。
平方根を詳しく見る
平方根とは何か
ある数の平方根とは、それ自身を掛け合わせるとその数になる値のことです。5 かける 5 は 25 なので、25 の平方根は 5 です。この演算は2乗を打ち消すもので、だからこそ数を2乗することの自然な逆演算になっています。平方根は根号で示されるため、25 の平方根は 25 の根号として書かれます。
厳密に言えば、25 には2つの平方根、すなわち正の 5 と負の 5 があります。負の数に負の数を掛けても正になるからです。慣例により、根号は非負の答えだけを返し、これを主平方根と呼びます。本計算機が示すのはその値で、学校やほとんどのソフトウェアで目にする標準と一致しています。
完全平方数
完全平方数とは、その平方根が整数になる数のことです。最初のいくつかは 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 で、平方根は 1 から 10 です。これらをひと目で見分けられるようにしておく価値があります。その間にある数について見積もりをするとき、いつもこれらが基準になるからです。
完全平方数は、幾何や数の計算に絶えず現れます。144 枚のタイルが収まる正方形のタイル床は 12 かける 12 です。144 の平方根が 12 だからです。計算がきれいな整数の平方根に行き着いたら、それはたいてい完全平方数を扱っているしるしで、その結果には丸めがまったく必要ありません。
完全平方数の間で見積もる
ほとんどの数は完全平方数ではありませんが、その平方根を2つの完全平方数の間に絞り込むことができます。50 を例にとりましょう。これは 49 と 64 の間にあるので、その平方根は 7 と 8 の間にあります。50 は 64 よりも 49 にずっと近いので、平方根は 7 をわずかに上回る値で、実際 50 の平方根はおよそ 7.07 です。
この挟み込みの方法は、どんなツールを信頼する前にも、手早く妥当性を確認する手段になります。90 の平方根を求めて 9.5 付近の結果が出れば、それは妥当です。90 は 81 と 100 の間にあるので、その平方根は 9 と 10 の間にあるからです。その範囲から大きく外れた答えは、入力の打ち間違いを示しています。
無理数の結果と丸め
整数が完全平方数でない場合、その平方根は無理数です。すなわち、その小数展開は繰り返すことなく永遠に続きます。2 の平方根は 1.41421356 と始まり、決して一定のパターンに落ち着かないため、正確に書き表せるのは根号を使ったときだけです。どんな小数の形も、必然的に近似値となります。
だからこそ本計算機は、結果を小数点以下8桁に丸めて表示します。桁数を増やしても、それはより近い近似値を意味するだけで、本来の値が変わるわけではありません。とはいえ8桁は宿題には十分すぎるほどで、おおまかな見積もりなら最初の2〜3桁を読むだけで足ります。本ツールは終わりのない小数を一定の8桁に丸めるので、答えは延々と続くことなく正確に保たれます。
平方根はどのように計算されるか
古典的な手計算の方法の1つに素因数分解があります。数を素数の組に分け、各組から1つずつ取り出します。144 の場合、素因数分解は 2 かける 2 かける 2 かける 2 かける 3 かける 3 で、組にすると 2 かける 2 かける 3、すなわち 12 になります。これがきれいに使えるのは完全平方数だけですが、完全平方数を検証するには優れた方法です。
それ以外のすべてについては、コンピューターはバビロニア法（ニュートン法）のような反復的な方法を使います。10 の平方根を近似するには、まず 3 のような推測値から始め、それと「10 を推測値で割った値」を平均します。3 たす 3.333 は 6.333、半分にするとおよそ 3.167 です。もう一度繰り返せば、すでに真の値 3.16228 に近づいています。1回ごとに精度がおおよそ倍になります。
負の数と虚数の平方根
どんな実数を2乗しても負の結果にはならないため、負の数には実数の平方根が存在しません。本計算機が 0 と正の値だけを受け付け、負の入力にはエラーを返すのはそのためです。-9 の平方根を求めても、日常的に使う実数の範囲内には答えがありません。
数学はこの考え方を虚数によって拡張し、-1 の平方根を単位 i と定義します。すると -9 の平方根は 3i になります。これは電気工学や信号処理のような高度な分野で欠かせませんが、本ツールが扱う実数の範囲の外にあります。本ツールは、日常的な正の数の場合のために作られています。
平方根が使われる場面
幾何学は、ピタゴラスの定理を通じて平方根に頼ります。直角を挟む2辺が 3 と 4 の直角三角形では、斜辺は「3 の2乗 たす 4 の2乗」の平方根、すなわち 25 の平方根で、ちょうど 5 になります。水平方向と垂直方向の成分から直線距離を求めるときは、いつでも平方根が関わってきます。
統計学も平方根に頼ります。データのばらつきを表す最も一般的な指標である標準偏差は、分散の平方根です。金融はボラティリティを年率換算するのに平方根を使い、物理学は自由落下の時間から波の速さまで、さまざまな公式で平方根を使います。抽象的どころか、平方根は応用数学において最も地味に役立つ演算の1つなのです。
よくある質問
平方根の結果はどのくらい正確ですか?
負の数の平方根を求められますか?
小数や非常に大きな数でも動作しますか?
2 のような数の平方根が正確でないのはなぜですか?
計算機は無料でプライバシーも守られますか?
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