Калькулятор квадратного корня

Вычислите квадратный корень любого положительного числа. Введите число, чтобы мгновенно получить его квадратный корень.

Введите положительное число:

About Square Roots

The square root of a number is a value that, when multiplied by itself, gives the original number.

For example, the square root of 25 is 5 because 5 × 5 = 25.

Key points:

• Square roots of negative numbers are not real numbers

• The square root of 0 is 0

• For most numbers, square roots are irrational numbers with infinite decimal places

• This calculator provides results to 8 decimal places for precision

Как пользоваться Калькулятор квадратного корня

1
Введите число
Введите положительное число, например 25 или 144.5, в поле ввода.
2
Задайте число десятичных знаков
Выберите, сколько десятичных знаков вам нужно, до 8, чтобы управлять точностью результата.
3
Вычислите корень
Нажмите «Вычислить квадратный корень», чтобы мгновенно рассчитать значение в вашем браузере.

4
Скопируйте ответ
Используйте кнопку «Копировать результат», чтобы сохранить квадратный корень в буфер обмена для использования в другом месте.

Подробнее о квадратных корнях

Что такое квадратный корень

Квадратный корень числа — это значение, которое при умножении само на себя даёт это число. Поскольку 5 умножить на 5 равно 25, квадратный корень из 25 равен 5. Эта операция отменяет возведение в квадрат, поэтому она является естественной обратной к возведению числа во вторую степень. Её обозначают знаком радикала, так что квадратный корень из 25 записывается как радикал из 25.

Строго говоря, у 25 два квадратных корня — положительный 5 и отрицательный 5, ведь отрицательное, умноженное на отрицательное, тоже даёт положительное. По соглашению знак радикала возвращает только неотрицательный ответ, называемый арифметическим квадратным корнем. Именно это значение выдаёт данный калькулятор, и оно соответствует стандарту, который вы встретите в школе и в большинстве программ.

Полные квадраты

Полный квадрат — это число, квадратный корень которого является целым числом. Первые несколько — это 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 и 100, с корнями от 1 до 10. Их стоит научиться узнавать с первого взгляда, потому что они служат опорой для любой оценки чисел, лежащих между ними.

Полные квадраты постоянно встречаются в геометрии и в работе с числами. Пол из квадратной плитки, на который уходит 144 плитки, имеет размер 12 на 12, ведь корень из 144 равен 12. Когда вычисление приводит к ровному целому корню, это обычно признак того, что вы имеете дело с полным квадратом, и результат вовсе не требует округления.

Оценка между полными квадратами

Большинство чисел не являются полными квадратами, но их корни можно зажать между двумя такими квадратами. Возьмём 50. Оно находится между 49 и 64, поэтому его корень лежит между 7 и 8. Поскольку 50 гораздо ближе к 49, чем к 64, корень чуть больше 7, и действительно корень из 50 равен примерно 7.07.

Этот метод оценки границами даёт быструю проверку на разумность, прежде чем доверять любому инструменту. Если вы запрашиваете корень из 90 и видите результат около 9.5, это разумно, ведь 90 лежит между 81 и 100, а значит, его корень лежит между 9 и 10. Ответ, сильно выходящий за этот диапазон, сигнализировал бы об опечатке во вводе.

Иррациональные результаты и округление

Когда целое число не является полным квадратом, его квадратный корень иррационален: его десятичная запись тянется бесконечно без повторений. Корень из 2 начинается с 1.41421356 и никогда не складывается в закономерность, поэтому точно его можно записать лишь с помощью знака радикала. Любая десятичная форма неизбежно является приближением.

Именно поэтому этот калькулятор показывает результат, округлённый до восьми десятичных знаков. Большее число знаков означало бы более близкое приближение, а не другое истинное значение, но восьми уже более чем достаточно для домашних заданий, а для грубой оценки можно просто взять первые две-три цифры. Инструмент округляет бесконечную десятичную дробь до фиксированных восьми знаков, чтобы ответ оставался точным и при этом не тянулся бесконечно.

Как вычисляются квадратные корни

Один классический ручной метод — разложение на простые множители. Разложите число на пары простых множителей и вынесите по одному множителю из каждой пары. Для 144 разложение — это 2 умножить на 2 умножить на 2 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 3; объединение в пары даёт 2 умножить на 2 умножить на 3, то есть 12. Этот способ работает гладко только для полных квадратов, но отлично подходит для их проверки.

Для всего остального компьютеры применяют итеративный метод — например, вавилонский метод, он же метод Ньютона. Чтобы приблизить корень из 10, начните с предположения, скажем 3, а затем усредните его с результатом деления 10 на это предположение: 3 плюс 3.333 равно 6.333, половина от этого — примерно 3.167. Повторите ещё раз, и вы уже близки к истинному 3.16228. Каждый проход примерно удваивает точность.

Отрицательные числа и мнимые корни

Ни одно действительное число в квадрате не даёт отрицательного результата, поэтому у отрицательного числа нет действительного квадратного корня. Вот почему этот калькулятор принимает только ноль и положительные значения и возвращает ошибку при отрицательном вводе. У запроса корня из -9 нет ответа среди действительных чисел, которыми вы пользуетесь изо дня в день.

Математика расширяет эту идею с помощью мнимых чисел, определяя корень из -1 как единицу i. Тогда корень из -9 равен 3i. Это незаменимо в продвинутых областях — таких как электротехника и обработка сигналов, — но лежит за пределами области действительных чисел этого инструмента, созданного для повседневного случая с положительными числами.

Где применяются квадратные корни

Геометрия опирается на квадратные корни через теорему Пифагора. Для прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 гипотенуза равна корню из 3 в квадрате плюс 4 в квадрате, то есть корню из 25, или ровно 5. Всякий раз, когда вы вычисляете расстояние по прямой из горизонтальной и вертикальной составляющих, в дело вступает квадратный корень.

Статистика тоже на них полагается. Стандартное отклонение — самая распространённая мера разброса данных — это квадратный корень из дисперсии. В финансах корни используют, чтобы привести волатильность к годовому выражению, а в физике они входят в формулы от времени свободного падения до скорости волны. Квадратный корень совсем не абстрактен — это одна из самых незаметно полезных операций в прикладной математике.

Часто задаваемые вопросы

Насколько точны результаты квадратного корня?

Можно задать вывод вплоть до 8 десятичных знаков. Калькулятор округляет результат до выбранной точности, что достаточно точно для домашних заданий по математике, инженерных оценок и большинства повседневных вычислений.

Может ли он найти квадратный корень отрицательного числа?

Нет. У отрицательных чисел нет действительного квадратного корня, поэтому инструмент принимает только положительные значения и ноль и покажет сообщение об ошибке, если ввести отрицательное число.

Работает ли он с десятичными дробями и очень большими числами?

Да. Можно вводить десятичные значения вроде 2.5 или большие числа, и калькулятор возвращает квадратный корень, используя встроенную математическую точность вашего браузера.

Почему квадратный корень числа вроде 2 не является точным?

Многие квадратные корни — иррациональные числа с бесконечными непериодическими десятичными дробями, поэтому инструмент показывает округлённое приближение, ограниченное выбранным числом десятичных знаков, а не бесконечное значение.

Бесплатен ли калькулятор и сохраняется ли конфиденциальность?

Да. Он полностью бесплатный и не требует регистрации, а каждое вычисление выполняется локально в вашем браузере, поэтому вводимые числа никогда не загружаются на сервер.