제곱근 계산기
모든 양수의 제곱근을 계산합니다. 숫자를 입력하여 즉시 제곱근을 계산하세요.
The square root of a number is a value that, when multiplied by itself, gives the original number.
For example, the square root of 25 is 5 because 5 × 5 = 25.
Key points:
• Square roots of negative numbers are not real numbers
• The square root of 0 is 0
• For most numbers, square roots are irrational numbers with infinite decimal places
• This calculator provides results to 8 decimal places for precision
제곱근 계산기 사용 방법
- 1
숫자 입력
25나 144.5 같은 양수를 입력란에 입력하세요.
- 2
소수 자릿수 설정
결과의 정밀도를 조절하도록 원하는 소수 자릿수를 최대 8자리까지 선택하세요.
- 3
제곱근 계산
Calculate Square Root를 클릭해 값을 브라우저 안에서 즉시 계산하세요.
- 4
결과 복사
Copy Result 버튼으로 제곱근을 클립보드에 저장해 다른 곳에서 사용하세요.
제곱근 자세히 들여다보기
제곱근이란 무엇인가
어떤 수의 제곱근은 자기 자신을 곱했을 때 그 수가 되는 값입니다. 5 곱하기 5는 25이므로 25의 제곱근은 5입니다. 이 연산은 제곱을 되돌리는 것이며, 그래서 어떤 수를 2제곱하는 것의 자연스러운 역연산입니다. 근호(√) 기호로 표시하므로, 25의 제곱근은 25에 근호를 씌워 나타냅니다.
엄밀히 말하면 25에는 제곱근이 두 개, 즉 양의 5와 음의 5가 있습니다. 음수에 음수를 곱해도 양수가 되기 때문입니다. 관례상 근호 기호는 음이 아닌 답, 즉 주제곱근(principal square root)만을 돌려줍니다. 이 계산기가 보고하는 것이 바로 그 값이며, 학교와 대부분의 소프트웨어에서 보게 될 표준과 일치합니다.
완전제곱수
완전제곱수는 제곱근이 정수인 수입니다. 처음 몇 개는 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100이며, 제곱근은 1부터 10까지입니다. 이들을 한눈에 알아보는 것은 해 둘 만한데, 그 사이에 있는 수들을 어림할 때마다 기준점이 되기 때문입니다.
완전제곱수는 기하학과 수 작업에서 끊임없이 나타납니다. 144개의 타일이 들어가는 정사각형 타일 바닥은 144의 제곱근이 12이므로 12 곱하기 12입니다. 계산 결과가 깔끔한 정수 제곱근에 떨어진다면, 보통 완전제곱수를 다루고 있다는 신호이며 그 결과는 반올림이 전혀 필요 없습니다.
완전제곱수 사이에서 어림하기
대부분의 수는 완전제곱수가 아니지만, 그 제곱근을 완전제곱수 두 개 사이에 묶어 둘 수 있습니다. 50을 봅시다. 50은 49와 64 사이에 있으므로 그 제곱근은 7과 8 사이에 있습니다. 50은 64보다 49에 훨씬 가까우므로 제곱근은 7을 막 넘긴 값이며, 실제로 50의 제곱근은 약 7.07입니다.
이렇게 양쪽으로 묶는 방법은 어떤 도구를 신뢰하기 전에 빠르게 점검하는 수단이 됩니다. 90의 제곱근을 구했을 때 9.5쯤의 결과가 나오면 합리적입니다. 90은 81과 100 사이에 있으므로 그 제곱근은 9와 10 사이에 있기 때문입니다. 그 범위를 크게 벗어난 답이 나온다면 입력에 오타가 있다는 신호입니다.
무리수 결과와 반올림
정수가 완전제곱수가 아닐 때 그 제곱근은 무리수입니다. 즉, 소수 전개가 반복되지 않고 영원히 이어집니다. 2의 제곱근은 1.41421356으로 시작해 결코 일정한 패턴으로 정착하지 않으므로, 근호 기호로만 정확히 적을 수 있습니다. 어떤 소수 형태든 반드시 근삿값일 수밖에 없습니다.
그래서 이 계산기는 결과를 소수점 여덟 자리로 반올림해 보여 줍니다. 자릿수를 더 늘리면 참값이 달라지는 것이 아니라 더 가까운 근삿값이 될 뿐인데, 여덟 자리만 해도 숙제에는 이미 차고 넘치며, 대략적인 어림은 앞의 두세 자리만 읽으면 됩니다. 도구는 끝없는 소수를 고정된 여덟 자리로 반올림해, 답이 끝없이 이어지지 않으면서도 정밀하게 유지되도록 합니다.
제곱근은 어떻게 계산되는가
손으로 하는 고전적 방법 하나는 소인수분해입니다. 수를 소수 쌍으로 쪼갠 뒤 각 쌍에서 하나씩 꺼냅니다. 144의 인수분해는 2 곱하기 2 곱하기 2 곱하기 2 곱하기 3 곱하기 3이고, 쌍을 지으면 2 곱하기 2 곱하기 3, 즉 12가 됩니다. 이 방법은 완전제곱수에서만 깔끔하게 통하지만, 그것을 검증하는 데는 훌륭합니다.
그 밖의 모든 경우에 컴퓨터는 바빌로니아 방법(뉴턴 방법이라고도 함) 같은 반복적 방법을 사용합니다. 10의 제곱근을 근사하려면 3 같은 추측값으로 시작한 뒤, 그것과 10을 추측값으로 나눈 값을 평균합니다. 3 더하기 3.333은 6.333이고, 절반은 약 3.167입니다. 한 번 더 반복하면 이미 참값 3.16228에 가까워집니다. 매번 반복할 때마다 정확도가 대략 두 배가 됩니다.
음수와 허수 제곱근
어떤 실수를 제곱해도 음수가 나오지 않으므로, 음수에는 실수 제곱근이 없습니다. 그래서 이 계산기는 0과 양수만 받고 음수 입력에는 오류를 반환합니다. -9의 제곱근을 구하는 것은 일상에서 쓰는 실수 안에서는 답이 없습니다.
수학은 허수를 도입해 이 개념을 확장하며, -1의 제곱근을 단위 i로 정의합니다. 그러면 -9의 제곱근은 3i입니다. 이는 전기공학과 신호 처리 같은 고급 분야에서 필수적이지만, 일상적인 양수 경우를 위해 만들어진 이 도구의 실수 범위 밖에 있습니다.
제곱근이 쓰이는 곳
기하학은 피타고라스 정리를 통해 제곱근에 기댑니다. 두 변이 3과 4인 직각삼각형에서 빗변은 3의 제곱 더하기 4의 제곱의 제곱근, 즉 25의 제곱근이며 정확히 5입니다. 가로와 세로 성분으로부터 직선 거리를 계산할 때면 언제나 제곱근이 관여합니다.
통계학도 제곱근에 의존합니다. 데이터의 산포를 나타내는 가장 흔한 척도인 표준편차는 분산의 제곱근입니다. 금융은 변동성을 연율화하는 데 제곱근을 쓰고, 물리학은 자유낙하 시간부터 파동 속도까지 여러 공식에서 제곱근을 사용합니다. 추상적이기는커녕 제곱근은 응용 수학에서 가장 조용히 유용한 연산 중 하나입니다.
자주 묻는 질문
제곱근 결과는 얼마나 정밀한가요?
음수의 제곱근을 구할 수 있나요?
소수와 매우 큰 숫자에서도 작동하나요?
왜 2 같은 숫자의 제곱근은 정확하지 않나요?
이 계산기는 무료이고 개인정보가 보호되나요?
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